30. Πολλαπλασιασμός ρητών αριθμών

Συγγραφέας

ΤΑΣΟΣ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ

Δημοσιευμένο

17 Ιούλιος 2026

Τροποποιημένο

15 Οκτώβριος 2026

1 Πολλαπλασιασμός ρητών αριθμών

1.1 Εύρεση γινομένου δύο ρητών αριθμών

Θεωρία και Ορισμοί

Γινόμενο δύο αριθμών \(\alpha\) και \(\beta\) ονομάζεται ο αριθμός που προκύπτει αν επαναλάβουμε τον πρώτο αριθμό (\(\alpha\), πολλαπλασιαστέος) τόσες φορές όσες μονάδες έχει ο δεύτερος (\(\beta\), πολλαπλασιαστής).

  • Κανόνας Προσήμων:

  • Για να πολλαπλασιάσουμε δύο ομόσημους ρητούς αριθμούς, πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο γινόμενο βάζουμε το πρόσημο «+». Δηλαδή:

  • Το γινόμενο δύο ομόσημων ρητών αριθμών είναι πάντα θετικό (+),

\[(+6)\cdot (+8)=+48 \ \ \ \ και \ \ \ (-5)\cdot (-7)=+35\]

  • Για να πολλαπλασιάσουμε δύο ετερόσημους ρητούς αριθμούς, πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο γινόμενο βάζουμε το πρόσημο «-». Δηλαδή: - το γινόμενο δύο ετερόσημων είναι πάντα αρνητικό (-)

\[(+5)\cdot (-9)=-45 \ \ \ \ και \ \ \ \ (-4) \cdot(+11)=-44\]

  • Πολλαπλασιασμός Κλασμάτων: Το γινόμενο δύο κλασμάτων είναι ένα νέο κλάσμα με αριθμητή το γινόμενο των αριθμητών και παρονομαστή το γινόμενο των παρονομαστών.

  • Πολλαπλασιασμός Δεκαδικών: Πολλαπλασιάζουμε τους αριθμούς σαν να ήταν ακέραιοι και στο αποτέλεσμα χωρίζουμε με υποδιαστολή τόσα ψηφία όσα έχουν και οι δύο παράγοντες μαζί.

Παραδείγματα

  1. Ακέραιοι: \((+5) \cdot (+4) = +20\) και \((-6) \cdot (+3) = -18\).
  2. Κλάσματα: \(\left(-\dfrac{3}{5}\right) \cdot \left(+\dfrac{2}{7}\right) = -\dfrac{3 \cdot 2}{5 \cdot 7} = -\dfrac{6}{35}\).
  3. Δεκαδικοί: \((+0,3) \cdot (+4,25) = +1,275\).
  4. Κλάσμα με Ακέραιο: \(\left(-\dfrac{4}{5}\right) \cdot(+3) = -\dfrac{12}{5}\).
  5. Μηδέν: \(67 \cdot 0 = 0\) (Το γινόμενο μηδενίζεται αν ένας παράγοντας είναι μηδέν).
  6. \((+2) \cdot (+3)\)
  • Λύση: Οι αριθμοί είναι ομόσημοι, άρα το γινόμενο είναι θετικό: \(2 \cdot 3 = 6\). Αποτέλεσμα: \(+6\).
  1. \((-2) \cdot (-4)\)
  • Λύση: Οι αριθμοί είναι ομόσημοι (αρνητικοί), άρα το γινόμενο είναι θετικό: \(2 \cdot 4 = 8\). Αποτέλεσμα: \(+8\).
  1. \((+4) \cdot (-3)\)
  • Λύση: Οι αριθμοί είναι ετερόσημοι, άρα το γινόμενο είναι αρνητικό: \(4 \cdot 3 = 12\). Αποτέλεσμα: \(-12\).
  1. \((-1,4) \cdot 5\)
  • Λύση: Πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές \(1,4 \cdot 5 = 7\). Επειδή είναι ετερόσημοι, το αποτέλεσμα είναι \(-7\).
  1. \((-10) \cdot (-0,7)\)
  • Λύση: Πολλαπλασιάζουμε \(10 \cdot 0,7 = 7\). Επειδή είναι ομόσημοι, το αποτέλεσμα είναι \(+7\).

Ασκήσεις

  1. \((+12) \cdot (-8) = \dots\)
  2. \((-5) \cdot (-9) = \dots\)
  3. \(\left(+\dfrac{4}{9}\right) \cdot \left(-\dfrac{5}{3}\right) = \dots\)
  4. \((-0,25) \cdot (-0,42) = \dots\)
  5. \((-14,5) \cdot 10 = \dots\)
  6. \(\left(+\dfrac{11}{13}\right) \cdot \left(+\dfrac{21}{26}\right) = \dots\)
  7. \((+3,55) \cdot (-0,2) = \dots\)
  8. \(24 \cdot \frac{5}{6} = \dots\) (με απλοποίηση)
  9. \((-0,5) \cdot (-12) = \dots\)
  10. \(\dfrac{\alpha}{\beta} \cdot \dfrac{\gamma}{\delta} = \dots\)
  11. \(8,73 \cdot 5 = \dots\)
  12. \((-15) \cdot (+3) = \dots\)
  13. \(100 \cdot 0,0817 = \dots\)
  14. \(\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{2} = \dots\)
  15. \((-1,2) \cdot (+0,4) = \dots\)
  16. \((+10) \cdot (-71)\)
  17. \((-43) \cdot (+71)\)
  18. \(\left(-\dfrac{10}{7}\right) \cdot \left(+\dfrac{10}{3}\right)\)
  19. \((-8) \cdot (-3)\)
  20. \((+31) \cdot (-1)\)
  21. \((-32) \cdot (-2)\)
  22. \(\left(-\dfrac{11}{8}\right) \cdot \left(+\dfrac{14}{5}\right)\)
  23. \((-26) \cdot (-13)\)
  24. \(\left(-\dfrac{1}{2}\right) \cdot \left(-\dfrac{3}{4}\right)\)
  25. \(0,6 \cdot (-10)\)
ΣυμβουλήΓια να βρούμε το πρόσημο σε ένα γινόμενο πολλών ρητών παραγόντων,

ακολουθούμε έναν απλό κανόνα που βασίζεται στο πλήθος των αρνητικών αριθμών που πολλαπλασιάζονται.

  1. Μετράμε το πλήθος των αρνητικών παραγόντων (δηλαδή των αριθμών που έχουν το πρόσημο «\(-\)»).
  2. Αν το πλήθος των αρνητικών παραγόντων είναι άρτιος αριθμός (π.χ. \(2, 4, 6, \dots\)), τότε το τελικό γινόμενο είναι θετικό (+).
  3. Αν το πλήθος των αρνητικών παραγόντων είναι περιττός αριθμός (π.χ. \(1, 3, 5, \dots\)), τότε το τελικό γινόμενο είναι αρνητικό (-).
  4. Οι θετικοί παράγοντες (αυτοί με πρόσημο «+») δεν επηρεάζουν το τελικό πρόσημο του αποτελέσματος.

Σημαντικές Παρατηρήσεις:

  • Η Ιδιότητα του Μηδενός: Εάν ένας τουλάχιστον από τους παράγοντες του γινομένου είναι το μηδέν (0), τότε το γινόμενο είναι υποχρεωτικά μηδέν. Στην περίπτωση αυτή, το αποτέλεσμα δεν θεωρείται ούτε θετικό ούτε αρνητικό.

  • Ανεξαρτησία από τη σειρά: Το γινόμενο οποιουδήποτε πλήθους παραγόντων είναι ανεξάρτητο από τη σειρά με την οποία τους παίρνουμε (αντιμεταθετική ιδιότητα), καθώς και από τον τρόπο που τους ομαδοποιούμε με παρενθέσεις (προσεταιριστική ιδιότητα).

Παράδειγμα:

  • \((-2) \cdot (-3) \cdot (-5) = -30\) (3 αρνητικοί παράγοντες, περιττό πλήθος \(\rightarrow\) αρνητικό αποτέλεσμα).

  • \((-2) \cdot (-3) \cdot (-5) \cdot (-1) = +30\) (4 αρνητικοί παράγοντες, άρτιο πλήθος \(\rightarrow\) θετικό αποτέλεσμα).

1.2 Ιδιότητες του γινομένου ρητών αριθμών

Θεωρία και Ιδιότητες

  1. Αντιμεταθετική: \(\alpha \cdot \beta = \beta \cdot \alpha\). Το γινόμενο είναι ανεξάρτητο από την τάξη των παραγόντων.

  2. Προσεταιριστική: \((\alpha \cdot \beta) \cdot \gamma = \alpha \cdot (\beta \cdot \gamma)\). Μπορούμε να ομαδοποιούμε παράγοντες χωρίς να αλλάζει το αποτέλεσμα.

  3. Ουδέτερο Στοιχείο: Η μονάδα (1). Κάθε αριθμός επί 1 παραμένει ο ίδιος \(a \cdot 1=1 \cdot a=a\).

  4. Ιδιότητα του Μηδενός: Κάθε αριθμός επί μηδέν ισούται με μηδέν (\(\alpha \cdot 0 = 0\)).

  5. Αντίστροφοι Αριθμοί: Δύο αριθμοί είναι αντίστροφοι αν το γινόμενό τους είναι 1. Ο αντίστροφος του \(\dfrac{\alpha}{\beta}\) είναι ο \(\dfrac{\beta}{\alpha}\).

  6. Επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση και την αφαίρεση:

\[α · (β + γ) = α · β + α · γ \ \ \ \ και \ \ \ \ \ \ α · (β - γ) = α · β - α · γ\]

Παραδείγματα

  1. Αντιμεταθετική: \((+7) \cdot(- 5) = (-5) \cdot (+7) = -35\).
  2. Προσεταιριστική: \((2 \cdot 5) \cdot 3 = 10 \cdot 3 = 30\).
  3. Μονάδα: \(345 \cdot 1 = 345\).
  4. Μηδέν: \(23 \cdot 54 \cdot 0 \cdot 41 = 0\).
  5. Αντίστροφοι: \(\left(-\dfrac{3}{5}\right) \cdot \left(-\dfrac{5}{3}\right) = 1\).

Ασκήσεις

  1. Συμπληρώστε: \(15 \cdot \dots = 0\).
  2. Αν \(\alpha \cdot \beta = \alpha\) (\(\alpha \neq 0\)), τότε \(\beta = \dots\).
  3. Βρείτε τον αντίστροφο του \(-\dfrac{2}{3}\).
  4. Επαληθεύστε την προσεταιριστική για τους \(2, 3, 5\).
  5. Υπολογίστε νοερά: \((-2) \cdot (-47) \cdot (+5) = \dots\) (με αντιμετάθεση).
  6. Ποιο είναι το γινόμενο \(\dfrac{\alpha}{\beta} \cdot \dfrac{\beta}{\alpha}\);
  7. Αν \(\alpha \cdot \beta = 1\), τι συμπεραίνετε για τους \(\alpha, \beta\);
  8. Βρείτε το \(x\) αν \(12 \cdot x = 12\).
  9. Ποιος αριθμός δεν έχει αντίστροφο;
  10. Υπολογίστε το \(67 \cdot 12 \cdot 0 \cdot 84\).
  11. Χρησιμοποιήστε προσεταιρισμό: \((0,5 \cdot 8) \cdot 2\).
  12. Βρείτε τον αντίστροφο του \(0,3\) (μετατρέψτε σε κλάσμα).
  13. Πόσο κάνει \((-1) \cdot 1 \cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot (-1)\cdot 1\cdot (-1)\cdot 1\cdot 1\);.
  14. Αν \(\alpha, \beta, \gamma, \delta\) είναι ρητοί και \(\alpha \cdot \beta \cdot \gamma \cdot \delta = \alpha \cdot \gamma\), τι ισχύει για το \(\beta \cdot \delta\);.
  15. Συμπληρώστε: \((-45) \cdot (+99) = (-45) \cdot (\dots - 1)\).

1.3 Υπολογισμός αριθμητικών παραστάσεων

Θεωρία και Κανόνες

Όταν μια παράσταση περιέχει πολλές πράξεις, ακολουθούμε τη σειρά προτεραιότητας:

  1. Πράξεις μέσα σε παρενθέσεις/αγκύλες: Πρώτα οι εσωτερικές παρενθέσεις.
  2. Πολλαπλασιασμοί (και διαιρέσεις): Προηγούνται των προσθέσεων και αφαιρέσεων.
  3. Προσθέσεις και Αφαιρέσεις: Εκτελούνται τελευταίες.

Παραδείγματα

  1. \((-5) \cdot (+7) + (-2) = (-35) + (-2) = -37\).
  2. \((-5) \cdot \left[(+7) + (-2)\right] = (-5) \cdot(+5) = -25\).
  3. \(6 \cdot 8 - 5 = 48 - 5 = 43\).
  4. \(5 \cdot 9 - 3 \cdot 2 = 45 - 6 = 39\).
  5. \((2 + 3) + [8 + (20 + 4)] = 5 + [8 + 24] = 37\).

15 Ασκήσεις

  1. \(8 \cdot (-6) - 5 \cdot 4 = \dots\)
  2. \([6 + (-8)] \cdot (-4 + 5) = \dots\)
  3. \(28 - (-3 \cdot 8) = \dots\)
  4. \(-4 \cdot (9 - 5) = \dots\)
  5. \(3 \cdot (-5) + (-8) \cdot 9 - 2 \cdot 4 \cdot(-6) \cdot 5 = \dots\)
  6. \([5 \cdot (-7)] - 8 = \dots\)
  7. \(8 \cdot (-6 - 5) + 4 = \dots\)
  8. \([7 \cdot (-4)] - [(-5) \cdot (-3)] = \dots\)
  9. \(5 \cdot (-8) + 3 \cdot 6 - (-7) \cdot 5 - 2 \cdot 4 = \dots\)
  10. \(3 \cdot (4 + 5 - 9) + 4 \cdot (10 - 2 - 8) = \dots\)
  11. \([(276 - 84) \cdot (-12)] \cdot 25 - 95 = \dots\)
  12. \(2 \cdot (11 - 4 \cdot 3) = \dots\)
  13. \((15 - 5) \cdot (10 - 8) = \dots\)
  14. \(100 - [5 \cdot (-10)] + [(-2) \cdot (-3)] = \dots\)
  15. \(3 \cdot 2-3 + 5 \cdot 2 = \dots\)

1.4 4. Εφαρμογή της επιμεριστικής ιδιότητας

Θεωρία και Ορισμοί

Η επιμεριστική ιδιότητα επιτρέπει τον πολλαπλασιασμό ενός αριθμού με ένα άθροισμα ή μια διαφορά, πολλαπλασιάζοντας τον αριθμό με κάθε όρο ξεχωριστά.

  • \(\alpha \cdot (\beta + \gamma) = \alpha \beta + \alpha \gamma\)
  • \(\alpha \cdot (\beta - \gamma) = \alpha \beta - \alpha \gamma\)
  • Κοινός Παράγοντας: Η αντίστροφη πορεία (\(\alpha \beta + \alpha \gamma = \alpha(\beta + \gamma)\)).

Παραδείγματα

  1. Άθροισμα: \(5 \cdot (-10 + 2) = 5 \cdot (-10) + 5 \cdot 2 = -50 + 10 = -40\).
  2. Διαφορά: \((-9 - 5) \cdot 3 = (-9) \cdot 3 - 5 \cdot 3 = -27 - 15 = -42\).
  3. Κοινός Παράγοντας: \(4\alpha + 4\beta + 20 = 4 \cdot (\alpha + \beta + 5)\).
  4. Σύνθετο: \((\alpha + \beta) \cdot (\gamma + \delta) = \alpha\gamma + \beta\gamma + \alpha\delta + \beta\delta\).
  5. Νοερός Λογισμός: \(58 \cdot 11 = 58 \cdot (10 + 1) = 580 + 58 = 638\).

Ασκήσεις

  1. Υπολογίστε με δύο τρόπους: \(6 \cdot [(-5) + 1)\).
  2. Αναπτύξτε το γινόμενο: \((\alpha + 3) \cdot (\beta + 5)\).
  3. Βγάλτε κοινό παράγοντα: \(6\alpha + 4\beta\).
  4. Υπολογίστε: \(83 \cdot 17 + 17 \cdot 7\) με κοινό παράγοντα.
  5. Απλοποιήστε: \(3 \cdot (\alpha + \beta + \gamma) + 3 \cdot (\alpha - \gamma)\).
  6. Υπολογίστε: \(78 \cdot (-53) - 28 \cdot (-53)\).
  7. Αναπτύξτε: \((2\alpha + 1) \cdot (3\beta + 2)\).
  8. Βγάλτε κοινό παράγοντα: \(13\chi + 26y - 39\).
  9. Υπολογίστε νοερά: \(35 \cdot 99\).
  10. Απλοποιήστε: \(5 \cdot (\alpha - 2\beta) + 4(\alpha + 3\beta)\).
  11. Βγάλτε κοινό παράγοντα: \(18 - 9\alpha + 27\gamma\).
  12. Υπολογίστε: \((-15 + 6) \cdot (7 + 3)\) με δύο τρόπους.
  13. Αναπτύξτε: \((\alpha - 4) \cdot (\beta + 3)\).
  14. Βγάλτε κοινό παράγοντα: \(3\alpha + 6\alpha\beta + 12\alpha\gamma\).
  15. Υπολογίστε: \(-127 \cdot 12 - 127 \cdot 35 - 127 \cdot 43\) με έναν πολλαπλασιασμό.

1.5 ….. ασκήσεων συνέχεια

  1. \((+2) \cdot (-3) \cdot (-2) \cdot (+5)\)
  2. \((+3) \cdot (-1) \cdot (-4) \cdot (-1) \cdot (+2)\)
  3. \((-1,2) \cdot (+0,5) \cdot (-10) \cdot (-2)\)
  4. \(\left(-\dfrac{1}{2}\right) \cdot \left(-\dfrac{2}{3}\right) \cdot \left(+\dfrac{3}{4}\right) \cdot \left(-\dfrac{4}{5}\right)\)
  5. \((-10) \cdot (+0,7) \cdot (-2) \cdot (-0,5)\)
  6. \((+15) \cdot (-3,2) \cdot 0 \cdot (-8,1) \cdot (+2)\)
  7. \((+12) \cdot \left(-\dfrac{1}{4}\right) \cdot (-2) \cdot (+5)\)
  8. \((-0,725) \cdot (+1000) \cdot (-0,1) \cdot (+2)\)
  9. \(\left(-\dfrac{3}{5}\right) \cdot \left(+\dfrac{5}{9}\right) \cdot \left(-\dfrac{16}{25}\right) \cdot \left(-\dfrac{25}{8}\right)\)
  10. \((-1) \cdot (-1) \cdot (+2) \cdot (-3) \cdot (+4) \cdot (-0,5)\)
  11. \(A = 5 - 2 \cdot [ 3 - 4 \cdot ( 2 - 5 ) ]\)
  12. \(B = -1,2 \cdot \{ 3 + 2 \cdot [ 1,5 - ( 0,5 - 2 ) ] \}\)
  13. \(\Gamma = \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{4} \cdot \left[ \dfrac{1}{3} - 2 \cdot \left( \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{6} \right) \right]\)
  14. \(\Delta = -2 \cdot \{ 5 - 3 \cdot [ 2 + ( 4 - 7 ) ] - 1 \}\)
  15. \(E = 0,5 \cdot [ 4 - 2 \cdot ( 1,2 + 0,8 ) ] - 1,5\)
  16. \(Z = - \dfrac{2}{3} \cdot \left\{ - \dfrac{1}{4} + 3 \cdot \left[ \dfrac{1}{2} - \left( \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} \right) \right] \right\}\)
  17. \(H = 10 - 2 \cdot \{ 3 - [ 4 \cdot ( 2 - 5 ) + 1 ] \}\)
  18. \(\Theta = 2,5 - [ 1,2 \cdot ( 0,5 - 1,5 ) + 3 \cdot ( 0,2 - 0,4 ) ]\)
  19. \(I = \dfrac{3}{5} \cdot \left[ 2 - \left( \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} \right) \cdot 4 \right] - \dfrac{1}{2}\)
  20. \(K = -3 \cdot \{ 1 - [ 2 \cdot ( 3 - 5 ) - 4 \cdot ( 1 - 2 ) ] \}\)
  21. \(\Lambda = 4,2 - 2 \cdot [ 0,5 \cdot ( 3 - 5 ) - 1,1 ]\)
  22. \(M = - \dfrac{1}{2} \cdot \left\{ \dfrac{3}{4} - \left[ \dfrac{1}{2} \cdot ( 4 - 6 ) + \dfrac{1}{4} \right] \right\}\)
  23. \(N = 5 \cdot [ 2 - 3 \cdot ( 1,5 - 2,5 ) ] - 10\)
  24. \(\Xi = \{ 2 - 3 \cdot [ 4 - ( 5 - 2 ) ] \} \cdot (-2)\)
  25. \(O = \dfrac{2}{3} \cdot \left[ \dfrac{1}{2} - \left( \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{2} \right) \cdot 8 \right] + 1\)
  26. \(\Pi = -1,5 \cdot \{ 2 - [ 0,5 \cdot ( 4 - 8 ) - 1 ] \}\)